Γραμμικές εξαρτημένες και ανεξάρτητες σειρές: ορισμός, παραδείγματα

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τι είναι ένας γραμμικός συνδυασμός συμβολοσειρών, γραμμικά εξαρτώμενες και ανεξάρτητες συμβολοσειρές. Θα δώσουμε και παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση του θεωρητικού υλικού.

Καθορισμός γραμμικού συνδυασμού χορδών

Γραμμικός συνδυασμός (LK) όρος s₁Με₂, …, s_n μήτρα A ονομάζεται έκφραση της ακόλουθης μορφής:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Αν όλοι οι συντελεστές α_i είναι ίσα με μηδέν, άρα το LC είναι ασήμαντος. Με άλλα λόγια, ο τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ισούται με τη μηδενική σειρά.

Για παράδειγμα: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Αντίστοιχα, εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές α_i δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε το LC είναι μη τετριμμένο.

Για παράδειγμα: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Γραμμικά εξαρτώμενες και ανεξάρτητες σειρές

Το σύστημα χορδών είναι γραμμικά εξαρτώμενη (LZ) εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους, ο οποίος είναι ίσος με τη μηδενική γραμμή.

Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι ένα μη τετριμμένο LC μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να είναι ίσο με τη μηδενική συμβολοσειρά.

Το σύστημα χορδών είναι γραμμικά ανεξάρτητη (LNZ) εάν μόνο το τετριμμένο LC είναι ίσο με τη μηδενική συμβολοσειρά.

:

• Σε έναν τετράγωνο πίνακα, το σύστημα σειρών είναι LZ μόνο εάν η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι μηδέν (ο = 0).
• Σε έναν τετράγωνο πίνακα, το σύστημα σειρών είναι LIS μόνο εάν η ορίζουσα αυτού του πίνακα δεν είναι ίση με μηδέν (ο ≠ 0).

Παράδειγμα προβλήματος

Ας μάθουμε αν το σύστημα χορδών είναι {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} γραμμικά εξαρτημένος.

Απόφαση:

1. Αρχικά, ας φτιάξουμε ένα LC.

α₁{3 4} + α₂{9 12}.

2. Τώρα ας μάθουμε ποιες τιμές πρέπει να λάβουμε α₁ и α₂έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός να ισούται με τη μηδενική συμβολοσειρά.

α₁{3 4} + α₂{9 12} = {0 0}.

3. Ας φτιάξουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

4. Διαιρέστε την πρώτη εξίσωση με τρία, τη δεύτερη με τέσσερα:

5. Η λύση αυτού του συστήματος είναι οποιαδήποτε α₁ и α₂, Με α₁ = -3α₂.

Για παράδειγμα, εάν α₂ = 2τότε α₁ = -6. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων και παίρνουμε:

Απάντηση: έτσι οι γραμμές s₁ и s₂ γραμμικά εξαρτημένος.