Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τι είναι η μέθοδος Gaussian, γιατί χρειάζεται και ποια είναι η αρχή της. Θα δείξουμε επίσης χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα πώς μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
Περιγραφή της μεθόδου Gauss
Μέθοδος Gauss είναι η κλασική μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης μεταβλητών που χρησιμοποιείται για την επίλυση . Πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Αλλά πρώτα, ας υπενθυμίσουμε ότι το SLAU μπορεί:
- έχουν μια ενιαία λύση?
- έχουν άπειρο αριθμό λύσεων.
- να είναι ασύμβατα, δηλαδή να μην υπάρχουν λύσεις.
Πρακτικά οφέλη
Η μέθοδος Gauss είναι ένας πολύ καλός τρόπος για να λύσετε ένα SLAE που περιλαμβάνει περισσότερες από τρεις γραμμικές εξισώσεις, καθώς και συστήματα που δεν είναι τετράγωνα.
Αρχή της μεθόδου Gauss
Η μέθοδος περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:
- ευθεία – ο επαυξημένος πίνακας που αντιστοιχεί στο σύστημα εξισώσεων, μειώνεται κατά τον τρόπο πάνω από τις σειρές στην επάνω τριγωνική (σκαλωτή) μορφή, δηλαδή κάτω από την κύρια διαγώνιο θα πρέπει να υπάρχουν μόνο στοιχεία ίσα με μηδέν.
- πίσω – στον προκύπτοντα πίνακα, τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι επίσης μηδενικά (κάτω τριγωνική όψη).
Παράδειγμα λύσης SLAE
Ας λύσουμε το παρακάτω σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.
Λύση
1. Αρχικά, παρουσιάζουμε το SLAE με τη μορφή διευρυμένου πίνακα.
2. Τώρα το καθήκον μας είναι να επαναφέρουμε όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο. Περαιτέρω ενέργειες εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη μήτρα, παρακάτω θα περιγράψουμε αυτές που ισχύουν για την περίπτωσή μας. Αρχικά, ανταλλάσσουμε τις σειρές, τοποθετώντας έτσι τα πρώτα στοιχεία τους σε αύξουσα σειρά.
3. Αφαιρέστε από τη δεύτερη σειρά δύο φορές την πρώτη και από την τρίτη - τριπλασιάστε την πρώτη.
4. Προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή.
5. Αφαιρέστε τη δεύτερη γραμμή από την πρώτη γραμμή, και ταυτόχρονα διαιρέστε την τρίτη γραμμή με -10.
6. Ολοκληρώθηκε το πρώτο στάδιο. Τώρα πρέπει να πάρουμε τα μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε το τρίτο πολλαπλασιασμένο με 7 από την πρώτη σειρά και προσθέστε το τρίτο πολλαπλασιασμένο με 5 στη δεύτερη.
7. Ο τελικός διευρυμένος πίνακας μοιάζει με αυτό:
8. Αντιστοιχεί στο σύστημα των εξισώσεων:
Απάντηση: root SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.