Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε πώς να βρούμε το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων, να δώσουμε μια γεωμετρική ερμηνεία, έναν αλγεβρικό τύπο και ιδιότητες αυτής της ενέργειας και επίσης να αναλύσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.

Γεωμετρική ερμηνεία

Διανυσματικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a и b είναι ένας φορέας c, το οποίο συμβολίζεται ως [a, b] or a x b.

Διάνυσμα μήκος c ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που κατασκευάστηκε χρησιμοποιώντας τα διανύσματα a и b.

Στην περίπτωση αυτή, c κάθετα στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται a и b, και βρίσκεται έτσι ώστε η ελάχιστη περιστροφή από a к b πραγματοποιήθηκε αριστερόστροφα (από την άποψη του τέλους του διανύσματος).

Φόρμουλα πολλαπλών προϊόντων

Προϊόν διανυσμάτων a = {α_x; προς την_y,_z} Εγώ b = {β_x. σι_y, β_z} υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν από τους παρακάτω τύπους:

Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων

1. Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

[a, b] = 0, Εάν a || b.

2. Το δομοστοιχείο του διασταυρούμενου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα.

S_{παράλληλα} = |a x b|

3. Το εμβαδόν ενός τριγώνου που σχηματίζεται από δύο διανύσματα είναι ίσο με το μισό του διανυσματικού γινομένου τους.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Ένα διάνυσμα που είναι διαγώνιο γινόμενο δύο άλλων διανυσμάτων είναι κάθετο σε αυτά.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (μ a) Χ a = a x (μ b) = m (a x b)

ένας. (a + b) Χ c = a x c + b x c

Παράδειγμα προβλήματος

Υπολογίστε το διασταυρούμενο γινόμενο a = {2; 4; 5} и b = {9; -δύο; 3}.

Απόφαση:

Απάντηση: a x b = {19; 43; -42}.