Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τον ορισμό ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE), πώς φαίνεται, ποιοι τύποι υπάρχουν και επίσης πώς να το παρουσιάσουμε σε μορφή πίνακα, συμπεριλαμβανομένου ενός εκτεταμένου.

Ορισμός συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (ή "SLAU" για συντομία) είναι ένα σύστημα που γενικά μοιάζει με αυτό:

• m είναι ο αριθμός των εξισώσεων.
• n είναι ο αριθμός των μεταβλητών.
• x₁, Χ₂,…, Χ_n – άγνωστο
• a₁₁,₁₂…, ένα_mn – συντελεστές για αγνώστους.
• b₁, β₂,…, β_m – δωρεάν μέλη.

Δείκτες συντελεστών (a_ij) διαμορφώνονται ως εξής:

• i είναι ο αριθμός της γραμμικής εξίσωσης.
• j είναι ο αριθμός της μεταβλητής στην οποία αναφέρεται ο συντελεστής.

Λύση SLAU – τέτοιοι αριθμοί c₁, C₂,…, γ_n , στο σκηνικό του οποίου αντί για x₁, Χ₂,…, Χ_n, όλες οι εξισώσεις του συστήματος θα μετατραπούν σε ταυτότητες.

Τύποι SLAU

1. Ομοιογενής – όλα τα ελεύθερα μέλη του συστήματος είναι ίσα με μηδέν (b₁ = β₂ = … = β_m = 0).

   

2. Ετερογενής – εάν δεν πληρούται η παραπάνω προϋπόθεση.
3. Τετράγωνα – ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλ m = n.

   

4. Υποκαθορισμένος – ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων.

   

5. παρακάμπτεται Υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις παρά μεταβλητές.

   

Ανάλογα με τον αριθμό των λύσεων, το SLAE μπορεί να είναι:

1. Άρθρωση έχει τουλάχιστον μία λύση. Επιπλέον, αν είναι μοναδικό, το σύστημα ονομάζεται οριστικό, αν υπάρχουν πολλές λύσεις, ονομάζεται αόριστο.

   

   Η παραπάνω SLAE είναι κοινή, επειδή υπάρχει τουλάχιστον μία λύση: x = 2, y = 3.

2. ασύμβατες Το σύστημα δεν έχει λύσεις.

   

   Οι δεξιές πλευρές των εξισώσεων είναι ίδιες, αλλά οι αριστερές όχι. Έτσι, δεν υπάρχουν λύσεις.

Σημείωση μήτρας του συστήματος

Το SLAE μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα:

AX = Β

• A είναι ο πίνακας που σχηματίζεται από τους συντελεστές των αγνώστων:

  

• X – στήλη μεταβλητών:

  

• B – στήλη ελεύθερων μελών:

  

Παράδειγμα

Αντιπροσωπεύουμε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων σε μορφή πίνακα:

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω φόρμες, συνθέτουμε τον κύριο πίνακα με συντελεστές, στήλες με άγνωστα και ελεύθερα μέλη.

Πλήρης καταγραφή του δεδομένου συστήματος εξισώσεων σε μορφή πίνακα:

Εκτεταμένος πίνακας SLAE

Αν στη μήτρα του συστήματος A προσθήκη στήλης δωρεάν μελών στα δεξιά B, διαχωρίζοντας τα δεδομένα με μια κάθετη γραμμή, λαμβάνετε έναν εκτεταμένο πίνακα SLAE.

Για το παραπάνω παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

– προσδιορισμός του εκτεταμένου πίνακα.