Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων

Τετραγωνική εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση, η οποία γενικά μοιάζει με αυτό:

ax² + bx + c = 0

Αυτό είναι ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης με 3 συντελεστές:

• a – ο ανώτερος (πρώτος) συντελεστής, δεν πρέπει να είναι ίσος με 0.
• b – μέσος (δεύτερος) συντελεστής.
• c είναι ένα ελεύθερο στοιχείο.

Η λύση σε μια τετραγωνική εξίσωση είναι να βρούμε δύο αριθμούς (τις ρίζες της) – x₁ και x₂.

Τύπος για τον υπολογισμό των ριζών

Για να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, χρησιμοποιείται ο τύπος:

Η έκφραση μέσα στην τετραγωνική ρίζα ονομάζεται μεροληπτική και σημειώνεται με το γράμμα D (ή Δ):

D = β² - 4ac

Με τον τρόπο αυτό, Ο τύπος για τον υπολογισμό των ριζών μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους:

1. Αν D > 0, η εξίσωση έχει 2 ρίζες:

2. Αν D = 0, η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα:

3. Αν D < 0, вещественных корней нет, но есть комплексные:

Λύσεις τετραγωνικών εξισώσεων

Παράδειγμα 1

3x² + 5x + 2 = 0

Απόφαση:

a = 3, b = 5, c = 2

x₁ = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3

x₂ = (-5 – 1) / 6 = -6/6 = -1

Παράδειγμα 2

3x² - 6x + 3 = 0

Απόφαση:

a = 3, b = -6, c = 3

x₁ = x₂ = 1

Παράδειγμα 3

x² + 2x + 5 = 0

Απόφαση:

a = 1, b = 2, c = 5

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες και η λύση είναι μιγαδικοί αριθμοί:

x₁ = -1 + 2i

x₂ = -1 – 2i

Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης

Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή.

f(x) = ax² + bx + γ

• Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης (Χ).
• Εάν υπάρχει μόνο μία ρίζα, η παραβολή αγγίζει τον άξονα σε ένα σημείο χωρίς να τον διασχίσει.
• Ελλείψει πραγματικών ριζών (παρουσία μιγαδικών), γραφική παράσταση με άξονα X δεν αγγίζει.