Περιεχόμενα
Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε ένα από τα κλασικά θεωρήματα της συγγενικής γεωμετρίας - το θεώρημα Ceva, το οποίο έλαβε ένα τέτοιο όνομα προς τιμήν του Ιταλού μηχανικού Giovanni Ceva. Θα αναλύσουμε επίσης ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος προκειμένου να εμπεδώσουμε το παρουσιαζόμενο υλικό.
Δήλωση του θεωρήματος
Δίνεται τρίγωνο ABC, στο οποίο κάθε κορυφή συνδέεται με ένα σημείο στην απέναντι πλευρά.
Έτσι, παίρνουμε τρία τμήματα (ΑΑ ', BB и CC »), τα οποία ονομάζονται κήβιοι.
Αυτά τα τμήματα τέμνονται σε ένα σημείο αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
|ΚΑΙ'| |ΔΕΝ'| |CB'| = |ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ '| |ΒΑΡΔΙΑ'| |ΑΒ '|
Το θεώρημα μπορεί επίσης να παρουσιαστεί με αυτή τη μορφή (καθορίζεται σε ποια αναλογία τα σημεία διαιρούν τις πλευρές):
Το τριγωνομετρικό θεώρημα του Ceva
Σημείωση: όλες οι γωνίες είναι προσανατολισμένες.
Παράδειγμα προβλήματος
Δίνεται τρίγωνο ABC με τελείες ΠΡΟΣ ΤΗΝ', Β' и VS' στα πλάγια BC, AC и AB, αντίστοιχα. Οι κορυφές του τριγώνου συνδέονται με τα δεδομένα σημεία και τα σχηματισμένα τμήματα διέρχονται από ένα σημείο. Παράλληλα τα σημεία ΠΡΟΣ ΤΗΝ' и Β' που λαμβάνονται στα μεσαία σημεία των αντίστοιχων απέναντι πλευρών. Μάθετε σε ποια αναλογία το σημείο VS' χωρίζει την πλευρά AB.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε ένα σχέδιο σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Για τη διευκόλυνσή μας, υιοθετούμε την ακόλουθη σημείωση:
- ΑΒ' = Β'Γ = α
- ΒΑ' = Α'Γ = β
Απομένει μόνο να συνθέσουμε την αναλογία των τμημάτων σύμφωνα με το θεώρημα Ceva και να αντικαταστήσουμε τον αποδεκτό συμβολισμό σε αυτό:
Αφού μειώσουμε τα κλάσματα, παίρνουμε:
Ως εκ τούτου, AC' = C'B, δηλαδή σημείο VS' χωρίζει την πλευρά AB στα μισά.
Επομένως, στο τρίγωνό μας, τα τμήματα ΑΑ ', BB и CC » είναι διάμεσοι. Έχοντας λύσει το πρόβλημα, αποδείξαμε ότι τέμνονται σε ένα σημείο (ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο).
Σημείωση: χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ceva, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι σε ένα τρίγωνο σε ένα σημείο τέμνονται και οι διχοτόμοι ή τα ύψη.