Θεώρημα Θαλής: διατύπωση και παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε ένα από τα κύρια θεωρήματα στην τάξη 8 της γεωμετρίας - το θεώρημα του Θαλή, το οποίο έλαβε ένα τέτοιο όνομα προς τιμήν του Έλληνα μαθηματικού και φιλοσόφου Θαλή της Μιλήτου. Θα αναλύσουμε επίσης ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος για να εμπεδώσουμε το υλικό που παρουσιάζεται.

Δήλωση του θεωρήματος

Εάν μετρηθούν ίσα τμήματα σε μία από τις δύο ευθείες γραμμές και χαράσσονται παράλληλες γραμμές στα άκρα τους, τότε διασχίζοντας τη δεύτερη ευθεία θα κόψουν τμήματα ίσα μεταξύ τους.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Σημείωση: Η αμοιβαία τομή των τμημάτων δεν παίζει ρόλο, δηλαδή το θεώρημα ισχύει τόσο για τεμνόμενες ευθείες όσο και για παράλληλες. Η θέση των τμημάτων στις τομές δεν είναι επίσης σημαντική.

Γενικευμένη σύνθεση

Το θεώρημα του Θαλή είναι μια ειδική περίπτωση Θεωρήματα αναλογικού τμήματος*: παράλληλες γραμμές κόβουν αναλογικά τμήματα σε διατομές.

Σύμφωνα με αυτό, για το παραπάνω σχέδιό μας, ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

* επειδή ίσα τμήματα, συμπεριλαμβανομένων, είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογικότητας ίσο με ένα.

Αντίστροφο θεώρημα του Θαλή

1. Για τεμνόμενες τομές

Εάν οι γραμμές τέμνουν δύο άλλες ευθείες (παράλληλες ή μη) και κόβουν ίσα ή ανάλογα τμήματα πάνω τους, ξεκινώντας από την κορυφή, τότε αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες.

Από το αντίστροφο θεώρημα προκύπτει:

Απαιτούμενη προϋπόθεση: ίσα τμήματα πρέπει να ξεκινούν από την κορυφή.

2. Για παράλληλες τομές

Τα τμήματα και στα δύο τμήματα πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους. Μόνο σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα είναι εφαρμόσιμο.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Παράδειγμα προβλήματος

Δίνεται ένα τμήμα AB στην επιφάνεια. Το χωρίζουμε σε 3 ίσα μέρη.

Λύση

Σχεδιάστε από ένα σημείο A κατευθύνει a και σημειώστε πάνω του τρία διαδοχικά ίσα τμήματα: AC, CD и DE.

ακραίο σημείο E σε ευθεία γραμμή a σύνδεση με τελεία B στο τμήμα. Μετά από αυτό, μέσα από τα υπόλοιπα σημεία C и D παράλληλα BE σχεδιάστε δύο ευθείες που τέμνουν το τμήμα AB.

Τα σημεία τομής που σχηματίζονται με αυτόν τον τρόπο στο τμήμα ΑΒ το χωρίζουν σε τρία ίσα μέρη (σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή).