Ιδιότητες ύψους ορθογωνίου τριγώνου

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τις κύριες ιδιότητες του ύψους σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και θα αναλύσουμε επίσης παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων σε αυτό το θέμα.

Σημείωση: το τρίγωνο λέγεται ορθογώνιος, αν μία από τις γωνίες του είναι ορθή (ίση με 90°) και οι άλλες δύο είναι οξείες (<90°).

Ιδιότητες ύψους σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ακίνητα 1

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο ύψη (h₁ и h₂) συμπίπτουν με τα πόδια του.

τρίτο ύψος (h₃) κατεβαίνει στην υποτείνουσα από ορθή γωνία.

Ακίνητα 2

Το ορθόκεντρο (σημείο τομής υψών) ενός ορθογωνίου τριγώνου βρίσκεται στην κορυφή της ορθής γωνίας.

Ακίνητα 3

Το ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που τραβιέται στην υποτείνουσα το χωρίζει σε δύο παρόμοια ορθογώνια τρίγωνα, τα οποία είναι επίσης παρόμοια με το αρχικό.

1. △ΗΠΑ ~ △ABC σε δύο ίσες γωνίες: ∠ADB = ∠ΛΑΚ (ευθείες γραμμές), ∠ΗΠΑ = ∠ΑΛΦΑΒΗΤΟ.

2. △ADC ~ △ABC σε δύο ίσες γωνίες: ∠ADC = ∠ΛΑΚ (ευθείες γραμμές), ∠CDA = ∠ACB.

3. △ΗΠΑ ~ △ADC σε δύο ίσες γωνίες: ∠ΗΠΑ = ∠DAC, ∠BAD = ∠CDA.

Απόδειξη: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Ταυτόχρονα ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Επομένως, ∠BAD = ∠CDA.

Μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο τρόπο ότι ∠ΗΠΑ = ∠DAC.

Ακίνητα 4

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος που τραβιέται στην υποτείνουσα υπολογίζεται ως εξής:

1. Μέσα από τμήματα στην υποτείνουσα, που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του από τη βάση του ύψους:

2. Μέσα από τα μήκη των πλευρών του τριγώνου:

Αυτός ο τύπος προέρχεται από Ιδιότητες του ημιτόνου οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο (το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με τον λόγο του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα):

Σημείωση: σε ορθογώνιο τρίγωνο, ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες ύψους που παρουσιάζονται στη δημοσίευσή μας.

Παράδειγμα προβλήματος

Εργασία 1

Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου διαιρείται με το ύψος που τραβιέται σε αυτό σε τμήματα 5 και 13 cm. Βρείτε το μήκος αυτού του ύψους.

Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο που παρουσιάζεται Ακίνητα 4:

Εργασία 2

Τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 9 και 12 cm. Να βρείτε το μήκος του υψομέτρου που τραβιέται στην υποτείνουσα.

Λύση

Αρχικά, ας βρούμε το μήκος της υποτείνουσας κατά μήκος (ας είναι τα σκέλη του τριγώνου "προς το" и "ΣΙ", και η υποτείνουσα είναι «Εναντίον»):

c² = A² + β² = 9² + 12² = 225.

Κατά συνέπεια, το с = 15 cm.

Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον δεύτερο τύπο από Ιδιότητες 4συζητήθηκε παραπάνω: