Εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τι είναι ένας αντίστροφος πίνακας και επίσης, χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα, θα αναλύσουμε πώς μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο και έναν αλγόριθμο για διαδοχικές ενέργειες.

Ορισμός αντίστροφου πίνακα

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι τα αντίστροφα στα μαθηματικά. Ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 7. Τότε το αντίστροφό του θα είναι 7^-1 or ¹/₇. Αν πολλαπλασιάσετε αυτούς τους αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι ένα, δηλαδή 7 7^-1 = 1.

Σχεδόν το ίδιο με τους πίνακες. Αντίστροφη ονομάζεται ένας τέτοιος πίνακας, πολλαπλασιάζοντας τον οποίο με τον αρχικό, παίρνουμε την ταυτότητα. Έχει χαρακτηριστεί ως A^-1.

Α · Α^-1 =E

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει να είστε σε θέση να υπολογίζετε πίνακες, καθώς και να έχετε τις δεξιότητες να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτούς.

Θα πρέπει να σημειωθεί αμέσως ότι το αντίστροφο μπορεί να βρεθεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα και αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο:

|A| – ορίζουσα μήτρας;

A^T_M είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών προσθηκών.

Σημείωση: αν η ορίζουσα είναι μηδέν, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.

Παράδειγμα

Ας βρούμε για το matrix A παρακάτω είναι το αντίστροφο.

Λύση

1. Αρχικά, ας βρούμε την ορίζουσα του δεδομένου πίνακα.

2. Τώρα ας φτιάξουμε έναν πίνακα που έχει τις ίδιες διαστάσεις με τον αρχικό:

Πρέπει να καταλάβουμε ποιοι αριθμοί πρέπει να αντικαταστήσουν τους αστερίσκους. Ας ξεκινήσουμε με το επάνω αριστερό στοιχείο του πίνακα. Το δευτερεύον σε αυτό βρίσκεται διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται, δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις στο νούμερο ένα.

Ο αριθμός που απομένει μετά τη διαγραφή είναι το απαιτούμενο δευτερεύον, δηλ M₁₁ = 8.

Ομοίως, βρίσκουμε τα δευτερεύοντα στοιχεία για τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα και παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα.

3. Ορίζουμε τον πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών. Πώς να τα υπολογίσουμε για κάθε στοιχείο, εξετάσαμε ξεχωριστά.

Για παράδειγμα, για ένα στοιχείο a₁₁ Η αλγεβρική πρόσθεση θεωρείται ως εξής:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Εκτελέστε τη μεταφορά του προκύπτοντος πίνακα αλγεβρικών προσθηκών (δηλαδή, αλλάξτε τις στήλες και τις γραμμές).

5. Απομένει μόνο να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα.

Μπορούμε να αφήσουμε την απάντηση σε αυτή τη μορφή, χωρίς να διαιρέσουμε τα στοιχεία του πίνακα με τον αριθμό 11, αφού σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε άσχημους κλασματικούς αριθμούς.

Έλεγχος του αποτελέσματος

Για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε το αντίστροφο του αρχικού πίνακα, μπορούμε να βρούμε το γινόμενο τους, το οποίο θα πρέπει να είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας.

Ως αποτέλεσμα, πήραμε τη μήτρα ταυτότητας, που σημαίνει ότι κάναμε τα πάντα σωστά.