Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε ένα από τα κύρια θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας - το θεώρημα του Stewart, το οποίο έλαβε ένα τέτοιο όνομα προς τιμήν του Άγγλου μαθηματικού M. Stewart, ο οποίος το απέδειξε. Θα αναλύσουμε επίσης λεπτομερώς ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος για την εμπέδωση του παρουσιαζόμενου υλικού.
Δήλωση του θεωρήματος
Τρίγωνο Νταν ABC. Στο πλευρό του AC κατανοητό D, το οποίο συνδέεται με την κορυφή B. Δεχόμαστε την ακόλουθη σημείωση:
- ΑΒ = α
- π.Χ. = β
- BD = p
- μ.Χ. = x
- DC = και
Για αυτό το τρίγωνο, η ισότητα είναι αληθής:
Εφαρμογή του θεωρήματος
Από το θεώρημα του Stewart, μπορούν να προκύψουν τύποι για την εύρεση των διαμέσου και των διχοτόμων ενός τριγώνου:
1. Το μήκος της διχοτόμου
Ας lc είναι η διχοτόμος που τραβιέται στο πλάι c, το οποίο χωρίζεται σε τμήματα x и y. Ας πάρουμε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου ως a и b… Σε αυτήν την περίπτωση:
2. Μέσο μήκος
Ας mc είναι η διάμεσος γυρισμένη προς τα κάτω στο πλάι c. Ας χαρακτηρίσουμε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου ως a и b… Επειτα:
Παράδειγμα προβλήματος
Δίνεται τρίγωνο ΑΛΦΑΒΗΤΟ. Στην άκρη AC ίσο με 9 cm, κατανοητό D, που χωρίζει την πλευρά έτσι ώστε AD δύο φορές περισσότερο DC. Το μήκος του τμήματος που συνδέει την κορυφή B και σημείο D, είναι 5 cm. Σε αυτή την περίπτωση, το σχηματισμένο τρίγωνο ΗΠΑ είναι ισοσκελές. Βρείτε τις υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου ABC.
Λύση
Ας απεικονίσουμε τις συνθήκες του προβλήματος με τη μορφή σχεδίου.
AC = AD + DC = 9 cm. AD πλέον DC δύο φορές, δηλ AD = 2DC.
Κατά συνέπεια, το 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Ετσι, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Γιατί τρίγωνο ΗΠΑ – ισοσκελές, και πλάγια AD είναι 6 cm, άρα είναι ίσα AB и BDIe AB = 5 cm.
Μένει μόνο να βρεθεί BC, αντλώντας τον τύπο από το θεώρημα του Stewart:
Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές σε αυτήν την έκφραση:
Με τον τρόπο αυτό, BC = √52 ≈ 7,21 cm.