Αύξηση μιγαδικού αριθμού σε φυσική δύναμη

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε πώς ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αυξηθεί σε δύναμη (συμπεριλαμβανομένης της χρήσης του τύπου De Moivre). Το θεωρητικό υλικό συνοδεύεται από παραδείγματα για καλύτερη κατανόηση.

Αύξηση μιγαδικού αριθμού σε δύναμη

Αρχικά, να θυμάστε ότι ένας μιγαδικός αριθμός έχει τη γενική μορφή: z = a + bi (αλγεβρική μορφή).

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε απευθείας στη λύση του προβλήματος.

Τετράγωνος αριθμός

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον βαθμό ως γινόμενο των ίδιων παραγόντων και μετά να βρούμε το γινόμενο τους (ενώ το θυμόμαστε αυτό i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Παράδειγμα 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε, δηλαδή το τετράγωνο του αθροίσματος:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – β²

Σημείωση: Με τον ίδιο τρόπο, εάν είναι απαραίτητο, μπορούν να ληφθούν τύποι για το τετράγωνο της διαφοράς, τον κύβο του αθροίσματος / διαφοράς κ.λπ.

Νο βαθμό

Σηκώστε έναν μιγαδικό αριθμό z σε είδος n πολύ πιο εύκολο αν αναπαρίσταται σε τριγωνομετρική μορφή.

Θυμηθείτε ότι, γενικά, η σημείωση ενός αριθμού μοιάζει με αυτό: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Για εκθεσιμότητα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Η φόρμουλα του De Moivre (έτσι πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Ο τύπος προκύπτει γράφοντας σε τριγωνομετρική μορφή (οι ενότητες πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται).

Παράδειγμα 2

Σηκώστε έναν μιγαδικό αριθμό z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) στον όγδοο βαθμό.

Λύση

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).