Εξαγωγή της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα δούμε πώς μπορείτε να πάρετε τη ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού και επίσης πώς αυτό μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων των οποίων η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν.

Εξαγωγή της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα

Όπως γνωρίζουμε, είναι αδύνατο να πάρουμε τη ρίζα ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού. Αλλά όταν πρόκειται για μιγαδικούς αριθμούς, αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί. Ας το καταλάβουμε.

Ας πούμε ότι έχουμε έναν αριθμό z = -9. Φόρουμ √-9 υπάρχουν δύο ρίζες:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3ι

Ας ελέγξουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν λύνοντας την εξίσωση z² = -9, χωρίς να το ξεχνάμε i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3ι)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Έτσι, το έχουμε αποδείξει -3i и 3i είναι ρίζες √-9.

Η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού συνήθως γράφεται ως εξής:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i και ούτω καθεξής

Ρίζα στη δύναμη του n

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνονται εξισώσεις της μορφής z = ⁿ√w… Εχει n ρίζες (z₀, Του₁, Του₂,…, z_n-1), το οποίο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο:

|w| είναι η ενότητα ενός μιγαδικού αριθμού w;

φ – το επιχείρημά του

k είναι μια παράμετρος που παίρνει τις τιμές: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Τετραγωνικές εξισώσεις με μιγαδικές ρίζες

Η εξαγωγή της ρίζας ενός αρνητικού αριθμού αλλάζει τη συνηθισμένη ιδέα του uXNUMXbuXNUMXb. Εάν η διάκριση (D) είναι μικρότερο από το μηδέν, τότε δεν μπορούν να υπάρχουν πραγματικές ρίζες, αλλά μπορούν να αναπαρασταθούν ως μιγαδικοί αριθμοί.

Παράδειγμα

Ας λύσουμε την εξίσωση x² - 8x + 20 = 0.

Λύση

a = 1, b = -8, c = 20

D = β² – 4ac = 64-80 = -16

Δ < 0, αλλά μπορούμε ακόμα να πάρουμε τη ρίζα της αρνητικής διάκρισης:

√D = √-16 = ±4i

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τις ρίζες:

x_1,2 = (-b ± √D)/2α = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Επομένως, η εξίσωση x² - 8x + 20 = 0 έχει δύο σύνθετες συζυγείς ρίζες:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i