Περιεχόμενα
Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τον ορισμό της κατάταξης μιας μήτρας, καθώς και τις μεθόδους με τις οποίες μπορεί να βρεθεί. Θα αναλύσουμε επίσης παραδείγματα για να δείξουμε την εφαρμογή της θεωρίας στην πράξη.
Προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα
Κατάταξη μήτρας είναι η κατάταξη του συστήματος γραμμών ή στηλών του. Οποιοσδήποτε πίνακας έχει τις τάξεις σειρών και στηλών του, οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Κατάταξη συστήματος σειρών είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών. Η κατάταξη του συστήματος στηλών προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.
:
- Η κατάταξη του μηδενικού πίνακα (δηλώνεται με το σύμβολο "θ") οποιουδήποτε μεγέθους είναι μηδέν.
- Η κατάταξη οποιουδήποτε διανύσματος μη μηδενικής γραμμής ή διανύσματος στήλης είναι ίση με ένα.
- Εάν ένας πίνακας οποιουδήποτε μεγέθους περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από ένα.
- Η κατάταξη ενός πίνακα δεν είναι μεγαλύτερη από την ελάχιστη διάστασή του.
- Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί που πραγματοποιούνται σε έναν πίνακα δεν αλλάζουν την κατάταξή του.
Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα
Μέθοδος Fringing Minor
Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τη μέγιστη τάξη ενός μη μηδενικού.
Ο αλγόριθμος έχει ως εξής: βρείτε τους ανηλίκους από τις χαμηλότερες τάξεις έως τις υψηλότερες. Αν ήσσονος σημασίας nη τάξη δεν είναι ίση με μηδέν, και όλα τα επόμενα (n + 1) ισούνται με 0, άρα η κατάταξη του πίνακα είναι n.
Παράδειγμα
Για να γίνει πιο σαφές, ας πάρουμε ένα πρακτικό παράδειγμα και ας βρούμε την κατάταξη του πίνακα A παρακάτω, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων.
Λύση
Έχουμε να κάνουμε με έναν πίνακα 4 × 4, επομένως, η κατάταξή του δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 4. Επίσης, υπάρχουν μη μηδενικά στοιχεία στον πίνακα, που σημαίνει ότι η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από ένα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν:
1. Ξεκινήστε τον έλεγχο ανήλικοι δεύτερης τάξης. Αρχικά, παίρνουμε δύο σειρές από την πρώτη και τη δεύτερη στήλη.
Minor ισούται με μηδέν.
Επομένως, προχωράμε στο επόμενο δευτερεύον (παραμένει η πρώτη στήλη και αντί για τη δεύτερη παίρνουμε την τρίτη).
Το δευτερεύον είναι 54≠0, επομένως η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον δύο.
Σημείωση: Εάν αυτό το δευτερεύον αποδεικνυόταν ίσο με μηδέν, θα ελέγξαμε περαιτέρω τους ακόλουθους συνδυασμούς:
Εάν απαιτείται, η απαρίθμηση μπορεί να συνεχιστεί με τον ίδιο τρόπο με συμβολοσειρές:
- 1 και 3;
- 1 και 4;
- 2 και 3;
- 2 και 4;
- 3 και 4.
Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία ήταν ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα θα ήταν ίση με ένα.
2. Καταφέραμε σχεδόν αμέσως να βρούμε ένα ανήλικο που μας ταιριάζει. Ας προχωρήσουμε λοιπόν στο ανήλικοι τρίτης τάξης.
Στο βρέθηκε ελάσσονα δεύτερης τάξης, που έδωσε ένα μη μηδενικό αποτέλεσμα, προσθέτουμε μια σειρά και μια από τις στήλες που επισημαίνονται με πράσινο χρώμα (ξεκινάμε από τη δεύτερη).
Ο ανήλικος αποδείχθηκε μηδενικός.
Επομένως, αλλάζουμε τη δεύτερη στήλη στην τέταρτη. Και στη δεύτερη προσπάθεια, καταφέρνουμε να βρούμε ένα δευτερεύον που δεν είναι ίσο με το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 3.
Σημείωση: αν το αποτέλεσμα αποδεικνυόταν ξανά μηδέν, αντί για τη δεύτερη σειρά, θα πηγαίναμε την τέταρτη πιο πέρα και θα συνεχίζαμε την αναζήτηση για ένα «καλό» ανήλικο.
3. Τώρα μένει να καθοριστεί ανήλικοι τέταρτης τάξης με βάση όσα είχαν βρεθεί νωρίτερα. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι αυτή που ταιριάζει με την ορίζουσα του πίνακα.
Minor ισούται με 144≠0. Αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα A ισούται με 4.
Αναγωγή μιας μήτρας σε βαθμιδωτή μορφή
Η κατάταξη ενός πίνακα βημάτων είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών του. Δηλαδή, το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να φέρουμε τον πίνακα στην κατάλληλη μορφή, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το , το οποίο, όπως προαναφέραμε, δεν αλλάζει την κατάταξή του.
Παράδειγμα
Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα B παρακάτω. Δεν παίρνουμε ένα υπερβολικά περίπλοκο παράδειγμα, γιατί ο κύριος στόχος μας είναι απλώς να αποδείξουμε την εφαρμογή της μεθόδου στην πράξη.
Λύση
1. Αρχικά, αφαιρέστε το διπλασιασμένο πρώτο από τη δεύτερη γραμμή.
2. Τώρα αφαιρέστε την πρώτη σειρά από την τρίτη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί τέσσερα.
Έτσι, πήραμε έναν πίνακα βημάτων στον οποίο ο αριθμός των μη μηδενικών σειρών είναι ίσος με δύο, επομένως η κατάταξή του είναι επίσης ίση με 2.