Μετασχηματισμοί ταυτότητας εκφράσεων

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε τους κύριους τύπους πανομοιότυπων μετασχηματισμών αλγεβρικών παραστάσεων, συνοδεύοντάς τους με τύπους και παραδείγματα για να δείξουμε την εφαρμογή τους στην πράξη. Ο σκοπός τέτοιων μετασχηματισμών είναι να αντικαταστήσουν την αρχική έκφραση με μια πανομοιότυπη έκφραση.

Αναδιάταξη όρων και παραγόντων

Σε οποιοδήποτε άθροισμα, μπορείτε να αναδιατάξετε τους όρους.

α + β = β + α

Σε οποιοδήποτε προϊόν, μπορείτε να αναδιατάξετε τους παράγοντες.

a ⋅ b = b ⋅ a

παραδείγματα:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Όροι ομαδοποίησης (πολλαπλασιαστές)

Εάν υπάρχουν περισσότεροι από 2 όροι στο άθροισμα, μπορούν να ομαδοποιηθούν με παρενθέσεις. Εάν απαιτείται, μπορείτε πρώτα να τα αλλάξετε.

α + β + γ + δ = (α + γ) + (β + δ)

Στο προϊόν, μπορείτε επίσης να ομαδοποιήσετε τους παράγοντες.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (α ⋅ δ) ⋅ (β ⋅ γ)

παραδείγματα:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με τον ίδιο αριθμό

Εάν προστεθεί ή αφαιρεθεί ο ίδιος αριθμός και στα δύο μέρη της ταυτότητας, τότε παραμένει αληθής.

If α + β = γ + δτότε (α + β) ± ε = (γ + δ) ± ε.

Επίσης, η ισότητα δεν θα παραβιάζεται εάν και τα δύο μέρη της πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό.

If α + β = γ + δτότε (α + β) ⋅/: e = (γ + δ) ⋅/: ε.

παραδείγματα:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Αντικατάσταση μιας διαφοράς με ένα άθροισμα (συχνά ένα προϊόν)

Οποιαδήποτε διαφορά μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα όρων.

a – b = a + (-b)

Το ίδιο κόλπο μπορεί να εφαρμοστεί και στη διαίρεση, δηλαδή αντικατάσταση συχνών με προϊόν.

a : b = a ⋅ β^-1

παραδείγματα:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Εκτέλεση αριθμητικών πράξεων

Μπορείτε να απλοποιήσετε μια μαθηματική έκφραση (μερικές φορές σημαντικά) εκτελώντας αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση), λαμβάνοντας υπόψη τα γενικά αποδεκτά σειρά εκτέλεσης:

• πρώτα ανεβάζουμε σε δύναμη, εξάγουμε τις ρίζες, υπολογίζουμε λογάριθμους, τριγωνομετρικές και άλλες συναρτήσεις.
• τότε εκτελούμε τις ενέργειες σε αγκύλες.
• Τέλος – από αριστερά προς τα δεξιά, εκτελέστε τις υπόλοιπες ενέργειες. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν προτεραιότητα έναντι της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Αυτό ισχύει και για εκφράσεις σε παρένθεση.

παραδείγματα:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Επέκταση βραχίονα

Οι παρενθέσεις σε μια αριθμητική παράσταση μπορούν να αφαιρεθούν. Αυτή η ενέργεια εκτελείται σύμφωνα με ορισμένες - ανάλογα με το ποια πρόσημα ("συν", "πλην", "πολλαπλασιασμός" ή "διαίρεση") βρίσκονται πριν ή μετά από τις αγκύλες.

παραδείγματα:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4 - 6) = 18:4-18:6

Bracketing του κοινού παράγοντα

Εάν όλοι οι όροι στην έκφραση έχουν έναν κοινό παράγοντα, μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες, στις οποίες θα παραμείνουν οι όροι που διαιρούνται με αυτόν τον παράγοντα. Αυτή η τεχνική ισχύει επίσης για κυριολεκτικές μεταβλητές.

παραδείγματα:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού

Μπορείτε επίσης να το χρησιμοποιήσετε για να εκτελέσετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς αλγεβρικών παραστάσεων.

παραδείγματα:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627