Ποιο είναι το όριο μιας συνάρτησης

Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε μία από τις κύριες έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης - το όριο μιας συνάρτησης: τον ορισμό της, καθώς και διάφορες λύσεις με πρακτικά παραδείγματα.

Προσδιορισμός ορίου μιας συνάρτησης

Όριο λειτουργίας – την τιμή στην οποία τείνει η τιμή αυτής της συνάρτησης όταν το όρισμά της τείνει στο οριακό σημείο.

Όριο εγγραφής:

• το όριο υποδεικνύεται από το εικονίδιο lim;
• παρακάτω προστίθεται σε ποια τιμή τείνει το όρισμα (μεταβλητή) της συνάρτησης. Συνήθως αυτό x, αλλά όχι απαραίτητα, για παράδειγμα:x→1″;
• τότε η ίδια η συνάρτηση προστίθεται στα δεξιά, για παράδειγμα:

  

Έτσι, η τελική εγγραφή του ορίου μοιάζει με αυτό (στην περίπτωσή μας):

Διαβάζεται σαν "Όριο της συνάρτησης καθώς το x τείνει στην ενότητα".

x→ 1 - αυτό σημαίνει ότι το "x" παίρνει σταθερά τιμές που προσεγγίζουν απεριόριστα την ενότητα, αλλά δεν θα συμπίπτουν ποτέ με αυτήν (δεν θα επιτευχθεί).

Όρια απόφασης

Με δεδομένο αριθμό

Ας λύσουμε το παραπάνω όριο. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αντικαταστήστε τη μονάδα στη συνάρτηση (γιατί x→1):

Έτσι, για να λύσουμε το όριο, προσπαθούμε πρώτα απλά να αντικαταστήσουμε τον δεδομένο αριθμό στη συνάρτηση κάτω από αυτό (αν το x τείνει σε έναν συγκεκριμένο αριθμό).

Με το άπειρο

Σε αυτή την περίπτωση, το όρισμα της συνάρτησης αυξάνεται άπειρα, δηλαδή, "Χ" τείνει στο άπειρο (∞). Για παράδειγμα:

If x→∞, τότε η δεδομένη συνάρτηση τείνει στο μείον το άπειρο (-∞), επειδή:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 κ.λπ.

Ένα άλλο πιο σύνθετο παράδειγμα

Για να λύσετε αυτό το όριο, απλώς αυξήστε τις τιμές x και δείτε τη «συμπεριφορά» της συνάρτησης σε αυτή την περίπτωση.

• RџСўРё x = 1, γ = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, γ = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, γ = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Έτσι, για "Χ"τείνει στο άπειρο, η συνάρτηση x² +3x –6 μεγαλώνει απεριόριστα.

Με αβεβαιότητα (το x τείνει στο άπειρο)

Στην περίπτωση αυτή, μιλάμε για όρια, όταν η συνάρτηση είναι κλάσμα, του οποίου αριθμητής και παρονομαστής είναι πολυώνυμα. Εν "Χ" τείνει στο άπειρο.

Παράδειγμα: ας υπολογίσουμε το όριο παρακάτω.

Λύση

Οι εκφράσεις τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή τείνουν στο άπειρο. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση θα είναι η εξής:

Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο απλά. Για να λύσουμε το όριο πρέπει να κάνουμε τα εξής:

1. Εύρημα x στην υψηλότερη ισχύ για τον αριθμητή (στην περίπτωσή μας, είναι δύο).

2. Ομοίως ορίζουμε x στην υψηλότερη ισχύ για τον παρονομαστή (επίσης ισούται με δύο).

3. Τώρα διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με x σε ανώτερο πτυχίο. Στην περίπτωσή μας, και στις δύο περιπτώσεις – στη δεύτερη, αλλά αν ήταν διαφορετικά, θα έπρεπε να πάρουμε τον υψηλότερο βαθμό.

4. Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, όλα τα κλάσματα τείνουν στο μηδέν, επομένως η απάντηση είναι 1/2.

Με αβεβαιότητα (το x τείνει σε έναν συγκεκριμένο αριθμό)

Και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, ωστόσο, "Χ" τείνει σε συγκεκριμένο αριθμό, όχι στο άπειρο.

Σε αυτή την περίπτωση, κλείνουμε υπό όρους τα μάτια μας στο γεγονός ότι ο παρονομαστής είναι μηδέν.

Παράδειγμα: Ας βρούμε το όριο της συνάρτησης παρακάτω.

Λύση

1. Αρχικά, ας αντικαταστήσουμε τον αριθμό 1 στη συνάρτηση, στην οποία "Χ". Παίρνουμε την αβεβαιότητα της μορφής που εξετάζουμε.

2. Στη συνέχεια, αποσυνθέτουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε παράγοντες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, εάν είναι κατάλληλοι, ή.

Στην περίπτωσή μας, οι ρίζες της έκφρασης στον αριθμητή (2x² - 5x + 3 = 0) είναι οι αριθμοί 1 και 1,5. Επομένως, μπορεί να αναπαρασταθεί ως: 2(x-1)(x-1,5).

Παρονομαστής (x–1) είναι αρχικά απλό.

3. Λαμβάνουμε ένα τέτοιο τροποποιημένο όριο:

4. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά (x–1):

5. Απομένει μόνο να αντικαταστήσουμε τον αριθμό 1 στην έκφραση που λαμβάνεται κάτω από το όριο: